¿Qué es el Álgebra Booleana?
El álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) nombrada así por George Boole quien fue el responsable de definirla y fomentarla, inicialmente en su primer libro «The Mathematical Analysis of Logic» publicado en 1847.
El álgebra de boole es parte fundamental en la actualidad del diseño electrónico. También está presente en los procesos de automatización tecnológica, ya que la mayoría de estos procesos responden ante la lógica binaria.
La álgebra booleana es, claramente una rama del álgebra convencional, diferenciándose de ésta por la forma en que está formada.
Por ejemplo, los valores de las variables dentro del álgebra de boole, a diferencia del álgebra común donde son números, aquí son valores de verdad verdadero y falso
(True & False) que se representan, el valor de verdad verdadero mediante el «1» y el de falso con «0». Estos valores de verdad se pueden interpretar de la manera simple falso o verdadero como también, a nivel circuitos como abierto o cerrado, encendido o apagado.
Entonces, ahora sabes que los valores del álgebra booleana son falso y verdadero (0 y 1), pero además las leyes del álgebra booleana se basan en tres operadores lógicos simples para representar las operaciones que se aplicarán sobre los valores, estos son:
-El signo de (+) como operador OR
Ejemplo:
0+1 = 1 (Verdadero)
-El signo de (·) o (*) como operador AND
Ejemplo:
0*1 = 0 (Falso)
-El signo de (‘) como operador NOT
Ejemplo:
0′ = 1 (Verdadero)
Propiedades que cumplen los valores del algebra de boole:
Axiomas:
- Conmutativas:
A + B = B + A
A * B = B * A
- Distributivas:
A + (B * C) = (A + B) * (A + C)
A * (B + C) = (A * B) + (A * C)
- Asociativas:
(A + B) + C = A + (B + C)
(A * B) * C = A * (B * C)
- Existencia de elemento neutro:
A + 0 = A
A * 1 = A
- Existencia del complemento:
A + A’ = 1
A * A’ = 0
Teoremas:
- Idempotencia:
A + A = A
A * A = A
- Acotamiento:
A + 1 = 1
A * 0 = 0
- Absorción:
A + (A * B) = A
A * (A + B) = A
- Reciprocidad del complemento o Involución:
(A’)’ = A
- Complementos de 0 y 1:
0’= 1
1′ = 0
- Teoremas del Consenso:
A + (A’ * B)= A + B
A * (A’ + B) = A * B
- Teoremas de DeMorgan:
(A + B)’ = A’ * B’
(A * B)’ = A’ + B’
- Propiedades:
A + B = 0 entonces A = 0 y B = 0
A * B = 1 entonces A = 1 y B = 1
A * B + A’ * B = B
Tablas de verdad de las operaciones básicas de la lógica de boole
En base a los valores proporcionados y los tres operadores lógicos disponibles para utilizar surgen las operaciones básicas, las cuales darán como resultado un 1 o un 0 según si el resultado de la operación es satisfactorio (Verdadero) o si no lo es (Negativo, entonces 0).
NOT: Negación y por ende opuesto del valor dado, Z = A’.
| A | Z |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Representación de una compuerta NOT
OR: Dados dos valores se realiza su suma lógica, Z = A + B
| A | B | Z |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Representación de una compuerta OR
AND: Dados dos valores se realiza su producto lógico, Z = A * B
| A | B | Z |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Representación de una compuerta AND
Tablas de verdad de las operaciones derivadas de la lógica booleana
A raíz de las tres operaciones anteriormente detalladas surgen otras posibilidades, como por ejemplo la idea de un NAND o NOR, operaciones pensadas para ser los opuestos de AND y OR respectivamente.
NOR: Dados dos valores se realiza el opuesto a su suma lógica, Z = (A + B)’
| A | B | Z |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Representación de una compuerta NOR
NAND: Dados dos valores se realiza el opuesto a su producto lógico, Z = (A * B)’
| A | B | Z |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Representación de una compuerta NAND
Además de estas dos, también se implementan otras dos llamadas XOR (Exclusive OR) y XNOR (Opuesto de XOR)
XOR: Dados dos valores devuelve 1 (Verdadero) si y sólo si A y B son opuestos.
| A | B | Z |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
La operación que representa al XOR es (A’ * B) + (A * B’)
Representación de una compuerta XOR simplificada
Representación de una compuerta XOR
XNOR: Dados dos valores devuelve 1 (Verdadero) si y sólo si A y B no son opuestos.
| A | B | Z |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
La operación que representa al XNOR es (A’ * B’) + (A * B)
Representación de una compuerta XNOR simplificada
Representación de una compuerta XNOR
Observaciones:
- Las compuertas AND, OR, NOT, NAND y NOR son los principales bloques constructivos del nivel de la lógica digital.
- Las compuertas NAND y NOR son funcionalmente completas, es decir que las operaciones NOT, AND y OR se pueden expresar con base en las primeras dos. Debido a esto es que se las denomina compuertas universales.
- Las compuertas NAND y NOR requieren dos transistores cada una, mientras que las compuertas AND y OR requieren tres
- Todas las compuertas vistas (menos NOT) pueden tener más de dos entradas (en la práctica no más de ocho)